Fußball · Grundlage · Remis-Regel
Aus einer Zahl werden drei.
Elo und Wettquoten sagen im Kern nur, wie stark der Favorit ist. Im Fußball gibt es aber drei Ausgänge. Diese Seite erklärt, wie wir die Wahrscheinlichkeit für Remis und Außenseitersieg festlegen, hergeleitet aus 97.378 Spielen mit sauberen Wettquoten.
Das Problem
Elo liefert für den Favoriten eine erwartete Punktzahl q = P(Sieg) + ½·P(Remis). Eine Wettquote liefert direkt P(Sieg). In beiden Fällen bleibt ein Rest, der sich auf zwei Ausgänge verteilt. Wir nennen ihn die Restmasse:
Wie sich r aufteilt, steht nirgends. Das ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Man braucht eine zusätzliche Regel, wir nennen ihren Kern den Remis-Anteil der Restmasse:
Kennt man s, ist alles starr bestimmt: P(Remis) = s · r und P(Außenseiter) = (1 − s) · r. Die ganze Frage lautet also: Wie hängt s von der Stärke des Favoriten ab?
Die Intuition: Je klarer der Favorit, desto kleiner wird die Restmasse. Remis und Außenseitersieg werden beide unwahrscheinlicher, aber der Außenseitersieg schneller. Ein Remis „passiert“ einem Favoriten leichter als eine Niederlage. s steigt also mit der Stärke des Favoriten. Die offene Frage ist, wie stark.
Was die Daten zeigen
Grundlage: 88.382 Ligaspiele aus 22 Ligen mit Pinnacle-Schlussquoten, nur Quotenschlüssel bis 1,05, also Summe der Kehrwerte höchstens 1,05. Die Favoritenwahrscheinlichkeit stammt aus der Quote nach dem Shin-Verfahren, siehe unten.
Befund: Bei ausgeglichenen Spielen ist die Restmasse etwa halb Remis, halb Außenseitersieg (s ≈ 50 %). Bei einem Favoriten mit 80 % sind schon gut zwei Drittel davon Remis, bei 85 bis 90 % rund drei Viertel.
Die drei Modelle aus dem WM-Projekt: Die Parabel (c = 0,29) liegt erstaunlich nah an den Daten. Davidson (ν = 0,8) und vor allem das Restmassenmodell (h₀ = 0,28 → h∞ = 0,90) überschätzen den Remis-Anteil bei starken Favoriten deutlich. Das Restmassenmodell nennt bei 85 bis 90 % einen Anteil von 91 %, beobachtet sind 76 %. Bei Elo-Abständen, wie sie in Pflichtspielen zwischen Vereinen vorkommen, lässt es dem Außenseiter zu wenig.
Die Regel
Der Remis-Anteil s wird als glatte Kurve über der Favoritenstärke geschätzt, getrennt für Heim- und Auswärtsfavoriten. Mit x = ln(p / (1 − p)), also den „Log-Odds“ der Favoritenwahrscheinlichkeit p, gilt:
Geschätzt wurde mit logistischer Regression auf allen Spielen der Lernzeit, die der Favorit nicht gewonnen hat. Abgefragt wird nur: Remis ja oder nein?
| Favorit | a | b | c | Spiele ohne Favoritensieg |
|---|---|---|---|---|
| Heimfavorit | +0,2112 | +0,4523 | −0,0416 | 30.629 |
| Auswärtsfavorit | +0,0729 | +0,3431 | +0,0804 | 13.542 |
Faire Quoten nach der Regel
Faire Quoten, also ohne Buchmachermarge, für Remis und Außenseitersieg bei gegebener fairer Quote des Favoriten. In Klammern stehen die 95-%-Intervalle (Bootstrap über Liga-Saisons). Grau mit ⚠: weniger als 100 vergleichbare Spiele, dort ist die Kurve schon teilweise fortgeschrieben.
Heimfavorit
| Quote Favorit | P(Favorit) | Remis-Anteil s | 95 % | P(Remis) | Quote Remis | 95 % | P(Außenseiter) | Quote Außenseiter | 95 % | Spiele in der Nähe |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1,10 | 90,9 % | 73,7 % | 67 % – 80 % | 6,7 % | 14,92 | 13,8 – 16,4 | 2,4 % | 41,88 | 33,6 – 54,4 | 377 |
| 1,15 | 87,0 % | 71,5 % | 67 % – 76 % | 9,3 % | 10,72 | 10,1 – 11,4 | 3,7 % | 26,90 | 23,3 – 31,5 | 750 |
| 1,20 | 83,3 % | 69,7 % | 67 % – 73 % | 11,6 % | 8,61 | 8,2 – 9,0 | 5,1 % | 19,78 | 17,9 – 22,1 | 1.059 |
| 1,25 | 80,0 % | 68,1 % | 66 % – 70 % | 13,6 % | 7,34 | 7,1 – 7,6 | 6,4 % | 15,67 | 14,6 – 16,9 | 1.210 |
| 1,30 | 76,9 % | 66,7 % | 65 % – 69 % | 15,4 % | 6,50 | 6,3 – 6,7 | 7,7 % | 13,02 | 12,3 – 13,8 | 1.341 |
| 1,40 | 71,4 % | 64,4 % | 63 % – 66 % | 18,4 % | 5,44 | 5,3 – 5,5 | 10,2 % | 9,82 | 9,5 – 10,2 | 1.890 |
| 1,50 | 66,7 % | 62,4 % | 61 % – 64 % | 20,8 % | 4,81 | 4,7 – 4,9 | 12,5 % | 7,97 | 7,8 – 8,2 | 2.464 |
| 1,60 | 62,5 % | 60,6 % | 60 % – 62 % | 22,7 % | 4,40 | 4,3 – 4,5 | 14,8 % | 6,77 | 6,6 – 7,0 | 3.248 |
| 1,75 | 57,1 % | 58,4 % | 57 % – 59 % | 25,0 % | 4,00 | 3,9 – 4,1 | 17,8 % | 5,60 | 5,5 – 5,7 | 4.466 |
| 2,00 | 50,0 % | 55,3 % | 54 % – 56 % | 27,6 % | 3,62 | 3,6 – 3,7 | 22,4 % | 4,47 | 4,4 – 4,6 | 5.827 |
| 2,25 | 44,4 % | 52,7 % | 52 % – 54 % | 29,3 % | 3,42 | 3,4 – 3,5 | 26,3 % | 3,81 | 3,8 – 3,9 | 6.630 |
| 2,50 | 40,0 % | 50,5 % | 50 % – 51 % | 30,3 % | 3,30 | 3,2 – 3,4 | 29,7 % | 3,37 | 3,3 – 3,4 | 6.161 |
Auswärtsfavorit
| Quote Favorit | P(Favorit) | Remis-Anteil s | 95 % | P(Remis) | Quote Remis | 95 % | P(Außenseiter) | Quote Außenseiter | 95 % | Spiele in der Nähe |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1,10 | 90,9 % | 78,4 % | 67 % – 88 % | 7,1 % | 14,03 | 12,4 – 16,4 | 2,0 % | 50,93 | 33,2 – 95,2 | 20 ⚠ |
| 1,15 | 87,0 % | 73,4 % | 65 % – 82 % | 9,6 % | 10,45 | 9,3 – 11,8 | 3,5 % | 28,78 | 22,0 – 43,4 | 79 ⚠ |
| 1,20 | 83,3 % | 69,7 % | 63 % – 77 % | 11,6 % | 8,61 | 7,8 – 9,5 | 5,0 % | 19,81 | 16,4 – 26,3 | 185 |
| 1,25 | 80,0 % | 66,9 % | 62 % – 73 % | 13,4 % | 7,48 | 6,8 – 8,1 | 6,6 % | 15,10 | 13,1 – 18,5 | 330 |
| 1,30 | 76,9 % | 64,6 % | 61 % – 69 % | 14,9 % | 6,71 | 6,2 – 7,2 | 8,2 % | 12,25 | 11,0 – 14,2 | 452 |
| 1,40 | 71,4 % | 61,2 % | 59 % – 64 % | 17,5 % | 5,72 | 5,4 – 6,0 | 11,1 % | 9,02 | 8,4 – 9,9 | 605 |
| 1,50 | 66,7 % | 58,6 % | 57 % – 61 % | 19,5 % | 5,12 | 4,9 – 5,3 | 13,8 % | 7,25 | 6,9 – 7,7 | 792 |
| 1,60 | 62,5 % | 56,7 % | 55 % – 58 % | 21,3 % | 4,70 | 4,6 – 4,9 | 16,2 % | 6,16 | 5,9 – 6,4 | 949 |
| 1,75 | 57,1 % | 54,4 % | 53 % – 56 % | 23,3 % | 4,29 | 4,2 – 4,4 | 19,5 % | 5,12 | 5,0 – 5,3 | 1.275 |
| 2,00 | 50,0 % | 51,8 % | 51 % – 53 % | 25,9 % | 3,86 | 3,8 – 3,9 | 24,1 % | 4,15 | 4,1 – 4,3 | 1.817 |
| 2,25 | 44,4 % | 50,0 % | 49 % – 51 % | 27,8 % | 3,60 | 3,5 – 3,7 | 27,8 % | 3,60 | 3,5 – 3,7 | 2.690 |
| 2,50 | 40,0 % | 48,7 % | 48 % – 50 % | 29,2 % | 3,42 | 3,4 – 3,5 | 30,8 % | 3,25 | 3,2 – 3,3 | 3.505 |
Auffällig: Ein Auswärtsfavorit verliert seine Nicht-Siege etwas häufiger durch Niederlage als ein gleich starker Heimfavorit, sein Remis-Anteil ist kleiner. Der Heimvorteil steckt also nicht nur in der Siegwahrscheinlichkeit, sondern auch in der Aufteilung des Rests.
Regel, Markt und WM-Modelle im Vergleich
Beobachteter Remis-Anteil s je Stärkeklasse des Favoriten, daneben die Werte der Regel, des Wettmarkts (seine eigene Aufteilung, nach Shin und proportional bereinigt) und der drei Modelle aus dem WM-Projekt. In Klammern steht die Abweichung zur Beobachtung in Prozentpunkten.
Heimfavorit
| P(Favorit) | Quote | Spiele | ohne Fav.-Sieg | beobachtet | Regel | Markt (Shin) | Markt (prop.) | Parabel | Davidson | Restmasse |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 34 % – 40 % | 2,50 – 2,94 | 11.013 | 6.956 | 49,3 % | 49,3 % (+0,0) | 48,1 % (−1,2) | 48,1 % (−1,2) | 46,4 % (−2,9) | 45,8 % (−3,5) | 43,8 % (−5,5) |
| 40 % – 45 % | 2,22 – 2,50 | 12.653 | 7.291 | 51,8 % | 51,8 % (−0,1) | 50,5 % (−1,3) | 50,5 % (−1,3) | 49,5 % (−2,3) | 49,1 % (−2,7) | 44,9 % (−6,9) |
| 45 % – 50 % | 2,00 – 2,22 | 11.088 | 5.891 | 53,7 % | 54,1 % (+0,4) | 53,4 % (−0,3) | 53,3 % (−0,4) | 52,4 % (−1,3) | 52,4 % (−1,3) | 47,7 % (−6,1) |
| 50 % – 55 % | 1,82 – 2,00 | 8.288 | 3.979 | 57,2 % | 56,3 % (−0,9) | 55,9 % (−1,3) | 55,8 % (−1,4) | 55,1 % (−2,1) | 55,8 % (−1,4) | 52,2 % (−5,0) |
| 55 % – 60 % | 1,67 – 1,82 | 6.411 | 2.757 | 58,0 % | 58,5 % (+0,4) | 58,4 % (+0,3) | 58,1 % (+0,1) | 57,5 % (−0,5) | 59,3 % (+1,2) | 58,1 % (+0,1) |
| 60 % – 65 % | 1,54 – 1,67 | 4.368 | 1.626 | 60,5 % | 60,6 % (+0,1) | 60,5 % (+0,0) | 60,1 % (−0,3) | 59,9 % (−0,6) | 62,8 % (+2,4) | 64,8 % (+4,3) |
| 65 % – 70 % | 1,43 – 1,54 | 2.906 | 918 | 60,6 % | 62,6 % (+2,1) | 62,6 % (+2,0) | 62,1 % (+1,5) | 62,0 % (+1,4) | 66,5 % (+5,9) | 71,5 % (+10,9) |
| 70 % – 75 % | 1,33 – 1,43 | 2.026 | 496 | 64,3 % | 64,7 % (+0,4) | 64,6 % (+0,3) | 63,9 % (−0,4) | 64,0 % (−0,3) | 70,4 % (+6,1) | 77,7 % (+13,3) |
| 75 % – 80 % | 1,25 – 1,33 | 1.382 | 290 | 67,6 % | 66,9 % (−0,7) | 66,6 % (−1,0) | 65,6 % (−1,9) | 65,9 % (−1,6) | 74,5 % (+7,0) | 83,0 % (+15,5) |
| 80 % – 85 % | 1,18 – 1,25 | 1.153 | 194 | 70,6 % | 69,2 % (−1,5) | 69,5 % (−1,2) | 68,0 % (−2,6) | 67,7 % (−2,9) | 79,0 % (+8,4) | 87,5 % (+16,9) |
| 85 % – 90 % | 1,11 – 1,18 | 713 | 74 | 75,7 % | 71,6 % (−4,0) | 71,9 % (−3,8) | 69,7 % (−5,9) | 69,4 % (−6,3) | 83,9 % (+8,2) | 91,0 % (+15,3) |
Auswärtsfavorit
| P(Favorit) | Quote | Spiele | ohne Fav.-Sieg | beobachtet | Regel | Markt (Shin) | Markt (prop.) | Parabel | Davidson | Restmasse |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 34 % – 40 % | 2,50 – 2,94 | 7.954 | 4.996 | 48,0 % | 48,0 % (−0,0) | 47,4 % (−0,6) | 47,5 % (−0,5) | 46,3 % (−1,7) | 45,7 % (−2,3) | 43,8 % (−4,2) |
| 40 % – 45 % | 2,22 – 2,50 | 5.990 | 3.388 | 48,2 % | 49,4 % (+1,2) | 49,1 % (+0,9) | 49,1 % (+0,9) | 49,4 % (+1,2) | 49,0 % (+0,8) | 44,9 % (−3,3) |
| 45 % – 50 % | 2,00 – 2,22 | 3.861 | 1.976 | 52,3 % | 50,9 % (−1,4) | 51,7 % (−0,6) | 51,7 % (−0,6) | 52,3 % (+0,0) | 52,3 % (+0,0) | 47,6 % (−4,7) |
| 50 % – 55 % | 1,82 – 2,00 | 2.470 | 1.181 | 52,8 % | 52,7 % (−0,2) | 54,1 % (+1,2) | 54,0 % (+1,1) | 55,1 % (+2,2) | 55,8 % (+3,0) | 52,2 % (−0,7) |
| 55 % – 60 % | 1,67 – 1,82 | 1.842 | 766 | 53,8 % | 54,5 % (+0,8) | 56,6 % (+2,8) | 56,4 % (+2,6) | 57,5 % (+3,8) | 59,3 % (+5,5) | 58,1 % (+4,3) |
| 60 % – 65 % | 1,54 – 1,67 | 1.270 | 485 | 58,8 % | 56,6 % (−2,2) | 59,0 % (+0,3) | 58,7 % (−0,1) | 59,8 % (+1,1) | 62,8 % (+4,0) | 64,7 % (+6,0) |
| 65 % – 70 % | 1,43 – 1,54 | 956 | 324 | 56,8 % | 59,0 % (+2,2) | 61,4 % (+4,6) | 61,0 % (+4,2) | 62,0 % (+5,2) | 66,5 % (+9,7) | 71,4 % (+14,7) |
| 70 % – 75 % | 1,33 – 1,43 | 677 | 169 | 63,9 % | 61,7 % (−2,2) | 63,9 % (−0,0) | 63,2 % (−0,7) | 64,0 % (+0,1) | 70,4 % (+6,5) | 77,7 % (+13,8) |
| 75 % – 80 % | 1,25 – 1,33 | 469 | 92 | 64,1 % | 64,9 % (+0,8) | 66,1 % (+2,0) | 65,2 % (+1,1) | 65,9 % (+1,8) | 74,6 % (+10,4) | 83,1 % (+18,9) |
Die Buchmachermarge: proportional oder Shin?
Die Kehrwerte der Quoten ergeben zusammen mehr als 1, das ist die Marge. Nur Quoten mit einem Schlüssel bis 1,05 werden verwendet. Sonst ist kaum zu sagen, wo die Marge steckt.
Proportional heißt: Alle drei Kehrwerte werden mit demselben Faktor auf die Summe 1 gebracht. Das unterstellt, dass die Marge gleichmäßig verteilt ist. Buchmacher schlagen sie aber überproportional auf Außenseiter auf (Favoriten-Außenseiter-Effekt).
Shin (1993) erklärt die Marge mit einem kleinen Anteil z gut informierter Wetter, gegen die sich der Buchmacher schützt. Das verschiebt Wahrscheinlichkeit vom Außenseiter zum Favoriten. Bei Pinnacle ist z sehr klein (Median 1,37 %). Die Formel lautet pi = (√(z² + 4(1−z)·πi²/Σπ) − z) / (2(1−z)) mit πi = 1/Quotei.
Die Tabelle rechts zeigt: Shin trifft starke Favoriten besser als die proportionale Bereinigung, unterschätzt sie aber selbst noch leicht. Selbst bei Pinnacle ist der Favoriten-Außenseiter-Effekt also nicht ganz verschwunden.
| Favorit | Spiele | proportional | Shin | tatsächlich gewonnen |
|---|---|---|---|---|
| 34 % – 40 % | 20.903 | 37,5 % | 37,6 % | 37,1 % |
| 40 % – 45 % | 20.512 | 42,2 % | 42,4 % | 42,7 % |
| 45 % – 50 % | 16.346 | 47,1 % | 47,4 % | 47,4 % |
| 50 % – 55 % | 11.859 | 52,0 % | 52,4 % | 51,9 % |
| 55 % – 60 % | 9.126 | 56,9 % | 57,4 % | 57,6 % |
| 60 % – 65 % | 6.192 | 61,7 % | 62,4 % | 62,4 % |
| 65 % – 70 % | 4.263 | 66,6 % | 67,3 % | 67,8 % |
| 70 % – 75 % | 3.022 | 71,5 % | 72,3 % | 75,5 % |
| 75 % – 80 % | 2.071 | 76,4 % | 77,3 % | 79,0 % |
| 80 % – 85 % | 1.538 | 81,2 % | 82,3 % | 83,7 % |
| 85 % – 90 % | 883 | 86,0 % | 87,2 % | 89,1 % |
| 90 % – 95 % | 233 | 90,5 % | 91,8 % | 91,4 % |
Prüfung an der Saison 2024/25
Die Regel wurde nur bis 2023/24 geschätzt. An 8.996 Spielen der Saison 2024/25 zeigt sich:
- Im Schnitt trifft die Regel am besten. Außenseitersiege: beobachtet 23,0 %, Regel 23,3 %, Markt (Shin) 23,6 %, Markt (proportional) 23,8 %. Remis: beobachtet 26,4 %, Regel 26,3 %, Markt (Shin) 26,1 %.
- Im Einzelspiel ist der Markt etwas besser. Log-Loss über alle drei Ausgänge: Markt (Shin) 0,9976, Markt (proportional) 0,9979, Favorit nach Shin plus unsere Regel 0,9986. Der Markt kennt Besonderheiten des einzelnen Spiels, etwa torarme Mannschaften, die häufiger remis spielen. Die Regel kennt nur die Stärke des Favoriten.
Für unseren Zweck ist das genau richtig. Elo kennt ebenfalls nur die Stärke. Die Regel ist die faire, für alle Verfahren gleiche Übersetzung von „wie stark ist der Favorit“ in drei Wahrscheinlichkeiten. Der Markt bleibt mit seiner eigenen Aufteilung der Maßstab, an dem sich alle messen lassen müssen.
Wie Elo die Regel benutzt
Elo liefert keine Siegwahrscheinlichkeit p, sondern die erwartete Punktzahl q = p + ½·P(Remis). Mit der Regel ist das eine Gleichung für p allein:
Sie wird für jedes Spiel numerisch nach p aufgelöst, eindeutig, weil die rechte Seite mit p steigt. Danach folgen Remis und Außenseitersieg wie oben. So erhält jedes Wertungsverfahren, ob Elo, Glicko oder TrueSkill, dieselbe Übersetzung in drei Ausgänge. Unterschiede in der Vorhersage gehen dann nur auf die Wertungen zurück.
Grenzen
- Besondere Spielsituationen: Es gibt Spiele, in denen ein Remis deutlich wahrscheinlicher ist, als die Stärke vermuten lässt. Etwa am letzten Gruppenspieltag eines Turniers, wenn beiden ein Unentschieden reicht, oder in K.-o.-Spielen, in denen keiner in 90 Minuten den entscheidenden Fehler machen will. Die Regel kennt solche Lagen nicht. In Ligaspielen sind sie selten, für Turniere wäre ein Zuschlag nötig.
- Extreme Favoriten: Unter einer Favoritenquote von 1,10 gibt es kaum Spiele. Die Kurve ist dort fortgeschrieben, nicht gemessen.
- Ligen und Länderspiele: Die Regel gilt im Schnitt über 22 Ligen. Einzelne Ligen mit vielen Remis, etwa zweite Ligen, können abweichen. Für Länderspiele wird sie gesondert geprüft.
- Quotenquelle: Pinnacle-Schlussquoten gibt es nur bis Ende 2025. Für spätere Spiele stehen nur Durchschnittsquoten mit 7 bis 8 % Marge zur Verfügung. Sie fallen unter den Quotenschlüssel von 1,05 und werden als Maßstab nicht verwendet.